โครงสร้างสุดละเอียด (Hyperfine Structure)
แก้ไข
โครงสร้างสุดละเอียดคือการที่เกิดการเลื่อนไปเล็กน้อยของระดับชั้นพลังงานของอะตอมเนื่องจาก อัตรกิริยาระหว่างนิวเคลียส กับ ออเล็กตรอน ทำให้เกิดโครงสร้างแบบละเอียดขึ้น
เนื่องจากเกิดไดโพลแม่เหล็กของโปรตรอน
ในโครงสร้างสุดละเอียดเราจะพิจารณาสปินโปรตอน
S
p
{\displaystyle S_{p}}
μ
p
→
=
g
p
e
2
m
p
S
p
→
{\displaystyle {\vec {\mu _{p}}}={\frac {g_{p}e}{2m_{p}}}{\vec {S_{p}}}}
g
p
{\displaystyle g_{p}}
5.59
{\displaystyle 5.59}
μ
e
→
=
−
g
e
e
m
e
S
e
→
=
−
e
m
e
S
e
→
{\displaystyle {\vec {\mu _{e}}}=-{\frac {g_{e}e}{m_{e}}}{\vec {S_{e}}}=-{\frac {e}{m_{e}}}{\vec {S_{e}}}}
ซึ่งไดโพลนั้นก็จะสร้างสนามแม่เหล็กซึ่งมีค่า
B
→
=
μ
0
4
π
r
3
[
3
(
μ
→
⋅
r
^
)
r
^
−
μ
→
]
+
2
μ
0
3
μ
→
δ
3
r
^
{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}[3({\vec {\mu }}\cdot {\hat {r}}){\hat {r}}-{\vec {\mu }}]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\vec {\mu }}\delta ^{3}{\hat {r}}}
และสนามแม่เหล็กดังกล่าวที่เกิดจากไดโพลของโปรตอนก็จะไปรบกวนไดโพลของอิเล็กตรอน ตามสมการ
H
=
−
μ
→
⋅
B
→
{\displaystyle H=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}
ทำให้ได้ฮามิลโตเนียนของอิเล็กตรอนที่ถูกรบกวนเป็น
H
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
8
π
m
p
m
e
[
3
(
S
p
→
⋅
r
^
)
(
S
e
→
⋅
r
^
)
−
S
p
→
⋅
S
e
→
]
r
3
+
μ
0
g
p
e
2
3
m
p
m
e
S
p
→
⋅
S
e
→
δ
3
(
r
^
)
{\displaystyle H_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{8\pi m_{p}m_{e}}}{\frac {[3({\vec {S_{p}}}\cdot {\hat {r}})({\vec {S_{e}}}\cdot {\hat {r}})-{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}]}{r^{3}}}+{\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3m_{p}m_{e}}}{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}\delta ^{3}({\hat {r}})}
จากทฤษฏีการรบกวน ค่าการแก้ไขของพลังงานอันดับที่ 1 คือค่าเฉลี่ยของฮามิลโตเนียนที่รบกวน
E
n
(
1
)
=
⟨
n
(
0
)
|
V
|
n
(
0
)
⟩
{\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }
ได้ว่า
E
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
8
π
m
p
m
e
⟨
3
(
S
p
→
⋅
r
^
)
(
S
e
→
⋅
r
^
)
−
S
p
→
⋅
S
e
→
r
3
⟩
+
μ
0
g
p
e
2
3
m
p
m
e
⟨
S
p
→
⋅
S
e
→
⟩
|
ψ
(
0
)
|
2
{\displaystyle E_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{8\pi m_{p}m_{e}}}\left\langle {\frac {3({\vec {S_{p}}}\cdot {\hat {r}})({\vec {S_{e}}}\cdot {\hat {r}})-{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}}{r^{3}}}\right\rangle +{\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3m_{p}m_{e}}}\left\langle {\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}\right\rangle \left|\psi (0)\right|^{2}}
ในสถานะที่ โมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมมีค่าเป็น 0 (l=0) ฟังก์ชันคลื่นจะมีลักษณะสมมาตรแบบทรงกลม จะทำให้เทอมแรกมีค่าเป็นศูนย์ และเมื่อพิจารณาสถานะที่พลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (Ground state) มีฟังก์ชันคลื่นคือ
ψ
100
=
1
π
a
3
e
−
r
/
a
{\displaystyle \psi _{100}={\frac {1}{\sqrt {\pi a^{3}}}}e^{-r/a}}
ได้ว่า
|
ψ
100
(
0
)
|
2
=
1
π
a
3
{\displaystyle \left|\psi _{100}(0)\right|^{2}={\frac {1}{\pi a^{3}}}}
จะได้ว่าค่าแก้ไขอันดับที่หนึ่งของการถูกรบกวนจากการถูกรบกวน
E
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
3
π
m
p
m
e
a
3
⟨
S
p
→
⋅
S
e
→
⟩
{\displaystyle E_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}\left\langle {\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}\right\rangle }
พิจารณาสปินรวม
S
→
=
S
p
→
+
S
e
→
{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {S_{p}}}+{\vec {S_{e}}}}
S
2
=
S
p
2
+
S
e
2
+
2
S
p
→
⋅
S
e
→
{\displaystyle S^{2}=S_{p}^{2}+S_{e}^{2}+2{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}}
จะได้
S
p
→
⋅
S
e
→
=
1
2
(
S
2
−
S
p
2
−
S
e
2
)
{\displaystyle {\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}={\frac {1}{2}}(S^{2}-S_{p}^{2}-S_{e}^{2})}
ดังนั้น
E
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
3
π
m
p
m
e
a
3
1
2
(
s
(
s
+
1
)
−
s
p
(
s
p
+
1
)
−
s
e
(
s
e
+
1
)
)
ℏ
2
{\displaystyle E_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}{\frac {1}{2}}(s(s+1)-s_{p}(s_{p}+1)-s_{e}(s_{e}+1))\hbar ^{2}}
เนื่องจากสปินของทั้งโปรตอนและอิเล็กตรอนมีค่าเป็น
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
E
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
ℏ
2
3
π
m
p
m
e
a
3
1
2
(
s
(
s
+
1
)
−
3
2
)
{\displaystyle E_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}\hbar ^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}{\frac {1}{2}}\left(s(s+1)-{\frac {3}{2}}\right)}
และแยกออกของระดับพลังงานจะแบ่งเป็น 2 สถานะคือ triplet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 1 และ singlet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 0 จะได้ว่า
E
h
f
=
μ
0
g
p
e
2
ℏ
2
3
π
m
p
m
e
a
3
{
+
1
4
(
triplet
)
−
3
4
(
singlet
)
{\displaystyle E_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}\hbar ^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}\left\{{\begin{matrix}+{\frac {1}{4}}&({\textrm {triplet}})\\-{\frac {3}{4}}&({\textrm {singlet}})\end{matrix}}\right.}
ดังนั้น ผลต่างของระดับพลังงานทั้งสองคือ
Δ
E
=
μ
0
g
p
e
2
ℏ
2
3
π
m
p
m
e
a
3
=
9.42
×
10
−
25
J
{\displaystyle \Delta E={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}\hbar ^{2}}{3\pi m_{p}m_{e}a^{3}}}=9.42\times 10^{-25}\;J}
ซึ่งความถี่ของโฟตอนที่ปลดปล่อยออกมาขณะเปลี่ยนระดับชั้นจาก triplet ไปยัง singlet state คือ
f
=
Δ
E
h
=
1.42
×
10
9
H
z
{\displaystyle f={\frac {\Delta E}{h}}=1.42\times 10^{9}\;Hz}
และคิดเป็นความยาวคลื่น
λ
=
c
f
=
21.1
c
m
{\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}=21.1\;cm}
โดยความยาวคลื่นดังกล่าวอยู่ในช่วงของคลื่นไมโครเวฟ โดยเรียกว่า 21 centimeter line
การประยุกต์ใช้งาน
แก้ไข
Astrophysics
แก้ไข
เนื่องการเปลี่ยนของอิเล็กตรอนไฮเจนในสถานะโครงสร้างสุดละเอียด จะให้โฟตอนในช่วงความยาวคลื่น 21 cm ซึ่งสามารถนำไปสู่การสร้าง แผนที่ไฮโดรเจนในอวกาศได้
ต่อมา Carl Sagan และ Frank Drake ได้นำ การเปลี่ยนในสถาะสุดละเอียด ไปใช้ในการเข้ารหัสของ Pioneer plaque และ Voyager Golden Record ซึ่งสามารถจะติดต่อกับมนุษย์ต่างดาวได้ เพราะเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติของจักรวาล
![{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}[3({\vec {\mu }}\cdot {\hat {r}}){\hat {r}}-{\vec {\mu }}]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\vec {\mu }}\delta ^{3}{\hat {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60200b6e8baf6c616afb1ec7aaee8633e3ff2ea5)
![{\displaystyle H_{hf}={\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{8\pi m_{p}m_{e}}}{\frac {[3({\vec {S_{p}}}\cdot {\hat {r}})({\vec {S_{e}}}\cdot {\hat {r}})-{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}]}{r^{3}}}+{\frac {\mu _{0}g_{p}e^{2}}{3m_{p}m_{e}}}{\vec {S_{p}}}\cdot {\vec {S_{e}}}\delta ^{3}({\hat {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6382f770b0fd0cd0fbd7d74568b4c389af12d3ac)
