ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ปรากฏการณ์ซีมาน

ปรากฏการณ์ซีมานเป็นปรากฏการณ์ที่ถูกค้นพบโดย ปีเตอร์ ซีมาน ชาวเนเธอร์แลนด์ เมื่อปี ค.ศ. ๑๘๙๖ พบว่าเมื่อให้สนามแม่เหล็กอย่างอ่อนๆแก่แหล่งกำเนิดแสง สเปกตรัมของแสงจะถูกแยกออกจากกัน ในปีเดียวกัน เฮนดริก ลอเลนซ์ ได้ใช้ผลจากปรากฏการณ์นี้ทำนายการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งทำให้แสงมีขั้ว อนุภาคนั้นมีมวลน้อยกว่าไฮโดรเจนพันเท่า และมีประจุเป็นลบ ก่อนที่ เจ เจ ทอมป์สัน จะค้นพบอิเล็กตรอน ผลจากงานวิจัยนี้ทำให้ ซีมาน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. ๑๙๐๒ ร่วมกับ เฮนดริก ลอเลนซ์

ผลการทดลองที่ซีมานค้นพบ จากการให้สนามแม่เหล็กกำลังสูงแก่แหล่งกำเนิดแสง

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติ (Normal Zeeman Effect)

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กของแหล่งกำเนิดแสง กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ในกรณีที่ค่าสปินรวมของอิเล็กตรอนเท่ากับ 0

ฮามิลโทเนียนรบกวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณภายในระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ${\vec {B}}_{ext}$ซึ่งมีทิศชี้ไปแกน $z$ ดังนี้

$H_{Z}=-{\vec {\mu _{e}}}\cdot {\vec {B}}_{ext}={\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {L}}\cdot B{\hat {z}}={\frac {eB}{2m_{e}}}L_{z}={\frac {\mu _{e}}{\hbar }}BL_{z}$

โดยที่ $\mu _{e}=e\hbar /2m_{e}$ คือบอห์รแมกนีตอน, $L_{z}$ คือ เงาของโมเมนตัมเชิงมุม ${\vec {L}}$ บนแกน $z$

ในอะตอมไฮโดรเจน ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน คือ

$H_{0}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {ke^{2}}{r}}$

ปรากฏการณ์ซีมานไม่ปรกติ

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอกซึ่งมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กภายในอะตอม ในกรณีที่ค่าสปินรวม (S) ของอิเล็กตรอนมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ทำให้เส้นสเปกตรัมในสนามแม่เหล็กมีความซับซ้อนขึ้น

เนื่องจากมีการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก จึงสามารถหาโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) ${\vec {\mu _{l}}}$ จากผลดังกล่าวได้จาก

${\vec {\mu _{l}}}={\frac {q}{2m}}{\vec {L}}=-{\frac {e}{2m}}{\vec {L}}$ โดยที่ ${\vec {L}}$ คือ Orbital angular momentum

เรื่องสปินรวมของเล็กตรอนไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็กจึงคิดผลจากสปินด้วย ซึ่งค่าที่ได้จะมีค่า g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน $g=2$ คูณอยู่ จะได้

${\vec {\mu _{s}}}=-{\frac {e}{m}}{\vec {S}}$ โดยที่ ${\vec {S}}$ คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)

ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ

$H_{z}=-({\vec {\mu _{l}}}+{\vec {\mu _{s}}})\cdot {\vec {B}}={\frac {e}{2m}}({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}$

เมื่อสนามแม่เหล็กภายนอก ${\vec {B}}$ ในที่นี้มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าภายในที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุ จะได้ว่า $H_{z}$ เป็นตัวรบกวน (Perturbation) โดยจากความสัมพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมรวม ${\vec {J}}$ คือ

${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$ จะได้ ${\vec {L}}={\vec {J}}-{\vec {S}}$ แทนลงไปใน $H_{z}$ จะได้

$H_{z}={\frac {e}{2m}}({\vec {J}}+{\vec {S}}_{avg})\cdot {\vec {B}}$

ซึ่งเราจะใช้ ${\vec {S}}={\vec {S}}_{avg}$ เนื่องจาก ${\vec {S}}$ ไม่ได้มีค่าคงที่ แต่มีการหมุนควงรอบ ${\vec {J}}$ เราจึงสามารถแยกออกเป็นสององค์ประกอบคือ ในแนวขนานกับ ${\vec {J}}$ ซึ่งมีขนาดเป็น $S_{\parallel }$ และในแนวตั้งฉากกับ ${\vec {J}}$ ซึ่งมีขนาดเป็น $S_{\perp }$ โดยเมื่อ ${\vec {S}}$ หมุนควงรอบ ${\vec {J}}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ $S_{\perp }$ ในแนวตั้งฉากมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่าค่าเฉลี่ย ${\vec {S}}_{avg}$ จะมีขนาดเท่ากับ $S_{\parallel }$ และมีทิศทางชี้ไปทางเดียวกับ ${\vec {J}}$ จะได้

${\vec {S}}_{avg}=S_{\parallel }{\frac {\vec {J}}{J}}=S\cos \theta {\frac {\vec {J}}{J}}$ โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง ${\vec {S}}$ กับ ${\vec {J}}$ ซึ่งจะได้ว่า

${\vec {S}}_{avg}=S{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{SJ}}{\frac {\vec {J}}{J}}={\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}$ จะได้

$H_{z}={\frac {e}{2m}}({\vec {J}}+{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}})\cdot {\vec {B}}={\frac {e}{2m}}(1+{\frac {{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}){\vec {J}}\cdot {\vec {B}}$

เมื่อกำหนดให้สนามแม่เหล็กภายนอก ${\vec {B}}$ มีขนาดเป็น $B_{0}$ และมีทิศทางไปทางแกน $z$ จะได้ว่า

$H_{z}={\frac {eB_{0}}{2m}}(1+{\frac {{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}})J_{z}$

พิจารณาตัวดำเนินการ ${\vec {S}}\cdot {\vec {J}}$ จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$ หรือ ${\vec {L}}={\vec {J}}-{\vec {S}}$ จะได้

$L^{2}=J^{2}+S^{2}-2{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}$

ดังนั้น จะได้ว่า

${\vec {S}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}+S^{2}-L^{2})$ นั่นคือ

$H_{z}={\frac {eB_{0}}{2m}}\left(1+{\frac {J^{2}+S^{2}-L^{2}}{2J^{2}}}\right)J_{z}$

ทำการหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐานคือ $\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$ เนื่องจากผลของสนามแม่เหล็กที่มีค่าน้อยกว่าสนามแม่เหล็กภายใน ทำให้โมเมนตัมเชิงมุมรวม ${\vec {J}}$ ประมาณได้ว่าคงที่ จะได้ว่า

$\left\langle n,l,j,m_{j}\left|H_{z}^{(1)}\right|n,l,j,m_{j}\right\rangle ={\frac {eB_{0}}{2m}}\left\langle n,l,j,m_{j}\left|\left(1+{\frac {J^{2}+S^{2}-L^{2}}{2J^{2}}}\right)J_{z}\right|n,l,j,m_{j}\right\rangle$

เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ

$J^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$

$S^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle =s(s+1)\hbar ^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$

$L^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$

$J_{z}\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle =m_{j}\hbar \left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$

จะได้

$\left\langle n,l,j,m_{j}\left|H_{z}^{(1)}\right|n,l,j,m_{j}\right\rangle ={\frac {eB_{0}}{2m}}\left(1+{\frac {j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}}\right)m_{j}\hbar$

สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน $s={\frac {1}{2}}$ เสมอ จะได้ว่า

$\left\langle n,l,j,m_{j}\left|H_{z}^{(1)}\right|n,l,j,m_{j}\right\rangle ={\frac {eB_{0}}{2m}}\left(1+{\frac {j(j+1)-l(l+1)+{\frac {3}{4}}}{2j(j+1)}}\right)m_{j}\hbar$

ซึ่งสังเกตว่าค่าของ $\left\langle n,l,j,m_{j}\left|H_{z}^{(1)}\right|n,l,j,m_{j}\right\rangle$ จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ในกรณีที่เลขควอนตัมในฐานทั้งสองด้านมีค่าเท่ากันทุกตัวเท่านั้น จึงทำให้การใช้ฐาน $\left|n,l,j,m_{j}\right\rangle$ ได้คำตอบอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ทแยง (Diagonal matrix) นั่นคือจะทำให้สมาชิกในตำแหน่งนอกแนวทแยงที่เลขควอนตัมบางตัวไม่เท่ากันมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหาค่าไอเกนหรือพลังงานในแต่ละสถานะได้ทันทีจากสมาชิกในแนวทแยง จึงได้ว่า

$E_{z}^{(1)}={\frac {eB_{0}}{2m}}\left(1+{\frac {j(j+1)-l(l+1)+{\frac {3}{4}}}{2j(j+1)}}\right)m_{j}\hbar =\mu _{B}g_{j}m_{j}B_{0}$

โดยที่ $\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}$ เป็นค่าคงที่เรียกว่า Bohr magneton ส่วน $g_{j}=1+{\frac {j(j+1)-l(l+1)+{\frac {3}{4}}}{2j(j+1)}}$ เรียกว่า Landé g-factors

ตัวอย่าง:การเปลี่ยนในอนุกรมไลมาณ-อัลฟ่า ของไฮโดรเจน (Lyman alpha transition in hydrogen)

ในกรณีนี้ เรื่องจากไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียว ค่าสปินรวม จึงไม่เท่ากับศูนย์ จึงเกิดปรากฏการณ์ซีมานแบบไม่ปรกติ โดยอิเล็กตรอนเปลี่ยนจาก

$2P_{1/2}\to 1S_{1/2}$ และ $2P_{3/2}\to 1S_{1/2}.$

เมื่อมีสนามแม่เหล็กอย่างอ่อนจากภายนอกเข้าไปกระทำ จะทำให้แยกระดับชั้นพลังงาน 1S_1/2 และ 2P_1/2 ไปยังสองระดับพลังงาน ที่มี ($m_{j}=1/2,-1/2$)และ 2P_3/2 ไปยังสี่สถานะคือ ($m_{j}=3/2,1/2,-1/2,-3/2$). โดยมี Landé g-factors สำหรับสามสถานะคือ

$g_{J}=2$ สำหรับ $1S_{1/2}$ (j=1/2, l=0)

$g_{J}=2/3$ สำหรับ $2P_{1/2}$ (j=1/2, l=1)

$g_{J}=4/3$ สำหรับ $2P_{3/2}$ (j=3/2, l=1).

สำหรับภาพประกอบสามารถชมได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect#mediaviewer/File:Zeeman_p_s_doublet.svg