ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นกับเวลา

เริ่มจากระบบที่ไม่ถูกรบกวนอยู่ในสถานะไอเกน จากนั้นถูกรบกวนด้วยแฮมิลโทเนียนขึ้นกับเวลา ดังนี้

$H(r,t)=H_{0}(r)+\lambda H^{'}(r,t))$……………………..(1)

$\lambda$คือ ค่าคงที่ที่มีค่าน้อยๆ

ให้ สถานะไอเกนของ $H_{0}$คือ

$\psi _{n}(r,t)=\varphi _{n}(r)e^{-i\omega _{n}t}$……………………..(2)

$H_{0}\varphi _{n}=E_{n}^{(0)}\varphi _{n}={\bar {h}}\omega \varphi _{n}$

สมมุติว่าที่เวลา t > 0 ระบบอยู่ในสถานะ

$\varphi (r,t)=\sum _{n}C_{n}(t)\varphi _{n}(r,t)$……………………..(3)

จากหลักการรวมกัน (Superposition principle) $\left|C_{n}^{2}\right|$คือความน่าจะเป็นที่จะเจอสถานะ $\varphi _{n}$ที่เวลา t ดังนั้นจุดประสงค์หลักก็คือคำนวณหาค่าสัมประสิทธิ์ ฟังก์ชันคลื่น $\psi (r,t)$คือผลเฉลยของสมการ

$i{\bar {h}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(H_{0}+\lambda H^{'})\psi$……………………..(4)

แทนสมการ (3) ในสมการสมการข้างบน และดำเนินการด้านซ้ายด้วย $\left\langle k\right|$ทั้งสมการ ได้

$i{\bar {h}}{\frac {\partial C_{k}}{\partial t}}=\lambda \sum _{n}\left\langle k\left|H^{'}\right|n\right\rangle C_{n}$……………………..(5)

สมการนี้ เป็นอนุกรมไม่สิ้นสุด สำหรับค่าคงที่ $C_{k}(t)$ซึ่งทุกตัวเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเหมาะที่จะหาคำตอบในรูปแบบ

$C_{k}(t)=C_{k}^{(0)}+\lambda C_{k}^{(1)}(t)+\lambda ^{2}C_{k}^{(2)}(t)+...$ ……………………..(6)

แทนลงในสมการ (5) และเทียบเทอมที่กำลังของ $\lambda$เท่ากัน $H_{kn}^{'}$แทนสมาชิกของเมทริกซ์ $H^{'}$ และพิจารณา

$i{\bar {h}}{\dot {C_{k}}}^{(0)}=0$

$i{\bar {h}}{\dot {C_{k}}}^{(1)}=\sum _{n}H_{kn}^{'}C_{n}^{(0)}$ ……………………..(7)

$\vdots$

ที่ลำดับ ${\dot {C_{k}}}^{(0)}$ บ่งบอกว่าค่าคงที่นี้คงที่ไม่ขึ้นกับเวลา พิจารณากรณีเฉพาะ ให้ $C_{n}^{(0)}=1$ แทนในสมการ (7) จะได้

$C_{k}(t)={\frac {1}{i{\bar {h}}}}\int _{-\infty }^{t}H_{kn}^{'}(r,t^{'})dt^{'}$……… $(k\neq n)$