ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง
แก้ไข
ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก [1] แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน , อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน และ สถานะไอเกน ได้จาก สมการชเรอดิงเงอร์ ด่อไปนี้
-
เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต) ตัวห้อย บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน
ให้ เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้ เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่ (ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง (มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น
-
ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้
-
แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่ และ สถานะไอเกนใหม่ ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม และ สถานะไอเกนเดิม ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ ได้ดังนี้
-
โดยที่
-
เมื่อ เข้าสู่ พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์
ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด
ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ และ ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้
-
กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
พจน์ที่มี คือ
- ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน
พจน์ที่มี คือ
-
ถ้าวาง ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ
-
ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ ค่าความคาดหวัง (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น จากเดิม อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น
- ↑ Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). Modern quantum mechanics (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5