ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่สอง เริ่มจากการแทนอนุกรมกำลังของ $E_{n}$ และ $|n\rangle$ ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เช่นเดียวกับกรณีของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง นั่นคือ

$\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)$

กระจายพจน์ต่างๆแล้วรวบเอาพจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกันไว้ด้วยกัน (กำลังของ λ) พจน์ที่มี $\lambda ^{2}$ คือ

$H_{0}\left|n^{(2)}\right\rangle +H_{1}\left|n^{(2)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(2)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E^{(2)}\left|n^{(0)}\right\rangle$

จากนั้นใส่ผลคูณภายในของสมการนี้ด้วย  :$\left\langle n^{(0)}\right|$ จะได้ว่า

$\left\langle n^{(0)}\right|H_{0}\left|n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(0)}\right|E_{n}^{(0)}\left|n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(0)}\right|E_{n}^{(1)}\left|n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(0)}\right|E_{n}^{(2)}\left|n^{(0)}\right\rangle$

เมื่อตัวดำเนินการ $H_{0}$ ไปกระทำกับสถานะ แล้วทำการดึงค่าคงที่ออกมา จะได้

$E_{n}^{(0)}\left\langle n^{(0)}\right.\left|n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(1)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left\langle n^{(0)}\right.\left|n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(0)}\right|E_{n}^{(1)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(2)}\left\langle n^{(0)}\right.\left|n^{(0)}\right\rangle$

จากสมบัติเชิงตั้งฉาก (Orthogonality) จะได้ว่า

$E_{n}^{(2)}=\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(1)}\right\rangle -E^{(1)}\left\langle n^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle$

แต่เนื่องจากว่า :$\left\langle n^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{m\not =n}\left\langle n^{(0)}\right.\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =0$ จะได้

$E_{n}^{(2)}=\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(1)}\right\rangle$

จากสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง  :$\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle m^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$ นำไปแทนในสมการข้างบนดังนั้นจะได้ว่า

$E_{n}^{(2)}=\sum _{m\not =n}\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|m^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle m^{(0)}\right|H_{1}\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$

จัดรูป จะได้ค่าการแก้ไขอันดับที่สองคือ

$E_{n}^{(2)}=\sum _{m\not =n}{\frac {|\left\langle n^{(0)}\right|H_{1}\left|m^{(0)}\right\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$